由於我們對應用10的各次冪已經非常習慣，所以我們只須寫出他們所乘的數（如7291），其餘的都可以略去。
其實，10的冪次並不是什麼神秘的東西。任何一個比一大的數的冪次都可以起到這樣的效果。例如，假定我們現在想用8的冪來寫出7291這個數，這時應當記住
80＝1；
81＝8；
82＝8×8＝64；
83＝8×8×8＝512；
84＝8×8×8×8＝4096。
這樣，我們就可以把7291寫為1×84加上6×83加上1×82加上7×81再加上3×80。（請你們自己把這個數算出來，並看看所得出的答數。）如果只寫出各次冪所要乘的數字，它就應當是16173。因此，我們可以說16173（八進制）＝7291（十進制）。
八進制的優點在於除了0以外，你只需記住七個數字。如果你想用數字8，那你可以寫出8×83，而這就等於1×84。因此，不管任何時候，你都可以用1來代替8。所以十進制的8等於八進制的10；十進制的89等於八進制的131，依次類推。但是，用八進制時，一個數所用的總字數要比用十進制時多。由此可見，基數越小，所用的不同數字越少，但總字數則越多。
當你用二十進制時，7291這個數將成為18×202加上4×201再加上11×200。在這種情形下，如果你把18寫為＃，並把11寫為％，你就可以說＃4％（二十進制）＝7291（十進制）。用二十進制時你將不得不用19個不同的數字，但是每一個數所用的總字數就會少些。
十進制是一種很方便的進位制。用這種進位制時，既不必記住過多的數字，而且在寫一個數時，又可不必用過多的字數。
什麼是二進制數呢？在二進制的情況下，7291這個數等於1×212加上1×211加上1×210加上0×29加上0×28加上0×27加上1×26加上1×25加上1×24加上1×23加上0×22加上1×21再加上1×20。（請你們自己把這個數算出來，看看得出什麼結果。但要記住29是9個2的乘積，亦即2×2×2×2×2×2×2×2×2＝512。）如果只寫出數字，那就是1110001111011（二進制）＝7291（十進制）。
由於二進制數只需要用兩個數字，即1和0，所以做加法和乘法演算特別簡單。但是即使一個很小的數，例如7291，也要用很多位數表示，因而很容易在我們頭腦中造成混亂。
但是，電子計算機則可以使用一個雙向開關。把開關撥向某一方向，即把電流接通時，它就代表1。把開關撥向另一方向，即把電流斷開時，它就代表0。這樣，通過操縱電路，使它根據二進制的加法和乘法規則接通和斷開，計算機就能以非常快的速度進行算術演算。同按十進制原理設計、用標有0到9的齒輪來進行演算的普通台式計算器相比，它的演算速度要快得多。
第6節
大多數人最為熟悉的數有兩種，即正數（＋5，＋17．5）和負數（－5，－17．5）。負數是在中世紀出現的，它用來處理3－5這類問題。從古代人看來，要從三個蘋果中減去五個蘋果似乎是不可能的。但是，中世紀的商人卻已經清楚地認識到欠款的概念。「請你給我五個蘋果，可是我只有三個蘋果的錢，這樣我還欠你兩個蘋果的錢。」這就等於說：（＋3）－（＋5）＝（－2）。
正數及負數可以根據某些嚴格的規則彼此相乘。正數乘正數，其乘積為正。正數乘負數，其乘積為負。最重要的是，負數乘負數，其乘積為正。
因此，（＋1）×（＋1）＝（＋1）；（＋1）×（－1）＝（－1）；（－1）×（－1）＝（＋1）。
現在假定我們自問：什麼數自乘將會得出＋1？或者用數學語言來說，＋1的平方根是多少？
這一問題有兩個答案。一個答案是＋1，因為（＋1）×（＋1）＝（＋1）；另一個答案則是－1，因為（－1）×（－1）＝（＋1）。數學家是用√￣（＋1）＝±1來表示這一答案的。（碧聲注：（＋1）在根號下）
現在讓我們進一步提出這樣一個問題：－1的平方根是多少？
對於這個問題，我們感到有點為難。答案不是＋1，因為＋1的自乘是＋1；答案也不是－1，因為－1的自乘同樣是＋1。當然，（＋1）×（－1）＝（－1），但這是兩個不同的數的相乘，而不是一個數的自乘。
這樣，我們可以創造出一個數，並給它一個專門的符號，譬如說＃1，而且給它以如下的定義：＃1是自乘時會得出－1的數，即（＃1）×（＃1）＝（－1）。當這種想法剛提出來時，數學家都把這種數稱為「虛數」，這只是因為這種數在他們所習慣的數系中並不存在。實際上，這種數一點也不比普通的「實數」更為虛幻。這種所謂「虛數」具有一些嚴格限定的屬性，而且和一般實數一樣，也很容易處理。
但是，正因為數學家感到這種數多少有點虛幻，所以給這種數一個專門的符號「i」(imaginary)。我們可以把正虛數寫為（＋i），把負虛數寫為（－i），而把＋1看作是一個正實數，把（－1）看作是一個負實數。因此我們可以說√￣（－1）＝±i。
實數系統可以完全和虛數系統對應。正如有＋5，－17．32，＋3／10等實數一樣，我們也可以有＋5i，－17．32i，＋3i／10等虛數。
我們甚至還可以在作圖時把虛數系統畫出來。
假如你用一條以0點作為中點的直線來表示一個正實數系統，那麼，位於0點某一側的是正實數，位於0點另一側的就是負實數。
這樣，當你通過0點再作一條與該直線直角相交的直線時，你便可以沿第二條直線把虛數系統表示出來。第二條直線上0點的一側的數是正虛數，0點另一側的數是負虛數。這樣一來，同時使用這兩種數系，就可以在這個平面上把所有的數都表示出來。例如（＋2）＋（＋3i）或（＋3）＋（－2i）。這些數就是「複數」。
數學家和物理學家發現，把一個平面上的所有各點同數字系統彼此聯系起來是非常有用的。如果沒有所謂虛數，他們就無法做到這一點了。
第7節
素數是這樣的整數，它除了能表示為它自己和1的乘積以外，不能表示為任何其它兩個整數的乘積。例如，15＝3×5，所以15不是素數；又如，12＝6×2＝4×3，所以12也不是素數。另一方面，13除了等於13×1以外，不能表示為其它任何兩個整數的乘積，所以13是一個素數。
有的數，如果單憑印象去捉摸，是無法確定它到底是不是素數的。有些數則可以馬上說出它不是素數。一個數，不管它有多大，只要它的個位數是2、4、5、6、8或0，就不可能是素數。此外，一個數的各位數字之和要是可以被3整除的話，它也不可能是素數。但如果它的個位數是1、3、7或9，而且它的各位數字之和不能被3整除，那麼，它就可能是素數（但也可能不是素數）。沒有任何現成的公式可以告訴你一個數到底是不是素數。你只能試試看能不能將這個數表示為兩個比它小的數的乘積。
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